初中数学论文:初中数学中错误概念的成因分析及对策

初中数学论文:初中数学中错误概念的成因分析及对策发布时间：2019-04-09 22:21:42

初中数学论文:初中数学中错误概念的成因分析及对策
【摘要】学生在日常生活中，对很多数学现象和问题都普遍存在着自己的观念，其中有些是正确的，而有些则是不全面、不完整的，甚至是完全同数学观念相违背的错误概念。在数学教学过程中，教师应及时发现学生的错误概念，并对这些错误概念进行分析，找出出错的原因，以便运用适当的措施进行对错误概念的转变。本文中，笔者根据自己的教学实践，通过“会诊”、“诊断”、“开处方”三个环节来纠正学生的错误概念。
　　【关键词】数学   错误概念   成因分析   对策
　　心理学家曾说过：“概念是客观事物的各种信息通过人的感官形成感觉、知觉，再经过大脑加工（比较、分析、综合、抽象和概括）形成的，反映客观事物的共同本质属性的一种思维方式，是思维的单元，是知识的细胞”。数学概念则是客观事物中数与形的本质属性的反映。数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓。数学是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。因此概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。
　　从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为概念学习单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊，甚至出现错误概念；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解,只是机械的、零碎的认识，用起来有时会张冠李戴。久而久之，会严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。只有正确掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。
　　数学来源于生活，又服务于生活。学生在日常生活中，对很多数学现象和问题都普遍存在着自己的观念，其中有些观念是正确的，是学生数学知识拓宽和发展的基础，是一种丰富的资源，而有些观念则是不全面、不完整的，有的甚至是完全同数学观念相违背的。因此，在数学教学过程中，教师应及时发现学生的错误概念，并对这些错误概念进行分析，找出出错的原因，以便采用适当的措施进行对错误概念的转变。
　　一、“会诊”——发现错误概念的渠道
　　发现、了解学生的错误概念是实现概念转变的前提，笔者在实践中主要通过以下途径来发现学生的错误概念：
　　1、从师生谈话中发现
　　教师可以利用课余时间，找一些学生谈话，谈话的内容可以是接下去要学习的内容或已经学习的内容，通过谈话来发现学生在学习过程中已经产生的各种错误概念或即将产生的错误概念。
　　案例1：有一次上课前我随便问了前面的两位同学，什么叫做点到直线的距离？他们异口同声地说：“一个点到一条直线的线段，叫做点到直线的距离。”很明显他们把线段当作距离。
　　2、从作业批改中发现
　　作业是诊断和检查学生学习效果的一种基本手段，学生的解题过程真实的反映了学生的思维模式和对所学知识的理解情况。因此，我们可以从作业的批改中，根据学生的错误情况来判断他们对概念的掌握和理解情况，从中发现错误概念。
　　案例2：在一次“绝对值”的作业中，有这样一个选择题：下列说法错误的是（）
　　A、一个正数的绝对值一定是正数；B、一个负数的绝对值一定是正数；C、任何数的绝对值都不是负数；D、任何数的绝对值一定是正数。这个选择题60个学生中有42人是错误的。说明他们对绝对值的概念还一知半解。
　　3、从课堂提问中发现
　　在课堂教学中，提问可以帮助教师引导和激发学生的思维，也可以帮助教师从学生的回答过程中了解学生的知识建构情况，特别是概念的建构。学生脑子里储存的概念如果是错误的或是不完整的，他的表达就会出现这样那样的缺陷，甚至不着边际。这提供给了教师很好的信息，有了这些信息，教师就能发现学生在概念的哪一部分出现了问题。
　　案例3：在上“整式”一节后，要求学生指出单项式“- ”的指数和次数，接连问了两个学生都说错了，可见对单项式的指数和次数的概念还没有正真掌握。
　　4、从合作交流中发现
　　在合作学习过程中，学生之间相互交流与讨论，分别呈现自己对相同事物的认识和理解，由于学生对不同事物的理解都是以自己的经验为背景建立起来的，不同的学生会接触到事物的不同方面，而且很少有学生能全方位的接触事物。教师在指导学生合作学习时，可以倾听不同学生对事物的不同认识，了解到各种认识的由来，记录下他们对事物认识的“错误概念”。
　　二、“诊断”——分析错误概念的成因
　　错误概念阻碍着学生理解和掌握数学概念，对学习的影响是消极的而且难以转变。因此，探析学生错误概念的成因，对于研究错误概念对正确的数学概念的转变策略极具借鉴意义。笔者在实践中通过对发现的错误概念进行调查和分析，初步总结了学生形成错误概念的几方面原因：
　　1、生活经验的局限
　　用日常生活概念代替数学概念。学生在学习新的概念之前，往往在其头脑中就已经有了关于该概念的一定认识，这些认识就是基于其生活经验的日常生活概念。儿童的日常生活经验是进一步学习的基础，许多数学概念都是从日常生活概念中抽象发展而成的。然而，由于日常概念的宽泛性、易变性、多义性，容易对学生学习抽象的数学概念造成错误的理解。由于学生在接触某数学概念之前，与之相联的日常概念可能早已在他们的意识中潜在地存在着，因而有些错误几乎是根深蒂固的。
　　案例4：“垂直”的概念，在日常生活中，人们通常是以地平面为参照。学生在学习几何概念“互相垂直”时，就会以日常的“垂直”概念代替“互相垂直”概念。
　　2、形象描述的影响
　　数学概念中有许多意象是通过学生自己的语言符号来描述的。这种描述介于实验、实例与概念定义之间，具有“形象”性。已有分析表明，学生在描述一个概念时，主要是通过一个实例、实物、图形，运用自己的语言组织的，实际上是将概念定义进行“异化”处理，有时尽管学生能够口述概念定义，但在内部表征概念时，仍用个人的语言。学生在表述概念时的语言是一种图、符号的混合描述，而并非明确的定义。在这个环节中，学生对于所描述的语言、符号使用不准确就容易造成概念错误，包括模糊、遗漏、增补、修正、变异等错误。
　　3、思维模式的障碍
　　形成和掌握数学概念是个极其复杂的过程，对于初中学生来说，要很好掌握数学概念，在思维上还是存在着一定障碍的。
　　①、分析能力的欠缺
　　概念建构的过程是一个由感性认识到理性认识的上升过程，是对感性材料进行“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的整理加工过程。而学生由于分析能力的欠缺，在思维上往往不能很好的由感性认识上升到理性认识，想对数学概念囫囵吞枣、死记硬背，结果造成理解上的错误。
　　案例5：学了轴对称以后，不少同学将轴对称与全等混淆在一起，实质上，全等只是从图形的形状、大小两个方面揭示了两个图形的关系，而轴对称是从形状、大小、位置三个方面揭示了两个图形的关系。例如：如图，判断△ABO和△DEO的位置关系。
　　错解：△ABO和△DEO对称
　　L1
　　E
　　B
　　错因分析：说两个图形对称，必须说清它们关于哪条直线对称。在下图中，△ABO和△DEO关于直线l2就不对称。
　　D
　　A
　　正解：△ABO和△DEO关于直线l1对称.
　　L2
　　o　　②、习惯经验的影响
　　数学概念之间既相互联系，又相互区别。学生在学习时常常不能区分相关、相似的数学概念，有些学生容易受以前的经验或习惯的影响，阻碍新概念的正确形成。
　　案例6：学生从小学就开始接触平方运算，在他们的经验中，平方运算只与“正”联系在一起；另外，关于方程，他们所熟悉的也是一次的，即一个方程对应一个解。在学习“平方根”与“算术平方根”这两个概念时，由于一个正数的平方根涉及到正负两个数，而事实上这两个数就是方程x2=a的两个根，这与他们的经验是非常不同的，于是就出现了“平方根”概念学习的极大困难；与此同时，又要学习“算术平方根”概念，这样就出现了有时要取正负两个值，有时又只能取一个正数的情况，从而引起理解上的混乱。
　　又如圆周率，在小学时学生都用3.14来代替，进人初中学习了无理数以后，学生看到马上用3.14代人，误认为是有理数，就是3.14，而实质上是个无理数。因此对习惯看法的印象越牢固，新的看法就越难牢固树立。
　　③、前后知识的干扰
　　随着知识的扩展，初中数学知识本身也会前后相互干扰。
　　案例7：在学“有理数的减法”时，教师反复强调“减去一个数等于加上它的相反数”，因而3-7中7前面的符号“-”是减号，给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和时，又要强调把3-7看成正3与负7之和，“-”又成了负号。学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑。这种困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。
　　案例8：了解“不等式的解集”以及运用“不等式基本性质2”是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就是受“等式的性质2”以及“一元一次方程的解是一个数”的干扰。事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等式的内容。
　　可见对比教学法对学生错误的形成，前后知识的干扰有一定的影响作用。
　　④、本质特征的混淆
　　任何一个概念都必须要有确定的含义，并能反映确定的对象，即任何一个概念都有各自的本质特征。在数学概念的学习中，有许多学生能初步了解概念的定义（概念的表层含义），但不能完全掌握概念的本质，因而在对概念的理解上产生了一些错误。
　　案例9：计算：（- X5Y2）·(-4X2Y)
　　错解：原式＝〔（- ）×（-4）〕·（X5·X2）（Y2·Y）＝2X10Y2
　　错因分析：把“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”相混淆，把“指数相加”误解为“指数相乘”。
　　正解：原式＝〔（- ）×（-4）〕·（X5·X2）（Y2·Y）＝2X7Y3
　　⑤、思维定势的影响
　　思维定势有积极和消极之分。积极的思维定势有利于学习的进行，而消极的思维定势则会阻碍学习的进行。
　　案例10：学生由于小学时接触的都是非负数，即正数和零，进入初中以后，引进了负数，所以在判断一个数的正负性时，往往是根据其前面所带的符号来判断，认为“a”一定是正数，“-a”一定是负数。同样在小学，学生对两数之和不小于其中任何一个加数，即a + b ≥a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a + b＜a也是可能的。也就是说，习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题错误。另外，“+”号和“-”号在小学长期作为加、减号使用，学生对于“3-5+4-6”，习惯上看作3减5加4减6，而初中更需要把上式看成正3、负5、正4与负6的和。
　　三、“开处方”——转变错误概念的对策
　　错误概念具有极强的顽固性（即在解决实际问题的过程中，错误概念仍会潜在地存在着，较强地影响学生的思维和问题解决）、隐蔽性（即学生本人不能自觉地意识到自己对概念的错误理解，常常坚持和使用自己的错误概念去观察、思考和解决有关数学问题）等特征，因此教师要积极诱发学生，暴露学生对错误概念形成的思维过程，共同发现形成错误概念的原因，然后有针对性地采取措施，帮助学生纠正错误概念。
　　1、揭示含义，突出关键词
　　数学概念严谨、准确、简练。教师的语言对于学生感知教材，形成概念有重要的作用，因此，要特别注意用词的严格性和准确性。教师要用生动、形象的语言讲清概念的每一个字、句、符号的意义，特别是关键的字、句，这是指导学生掌握概念，并准确认识概念的前提。
　　案例11：“分解因式”概念，“把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫把这个多项式分解因式。”在教学中学生往往只注重“积”这个关键字，而忽略了“整式”，易造成对形如“3x2-3x=3x2(1- )”也是分解因式的错误认识。
　　所以教学中务必强调，并与学生分析这两处关键字的含义，加深学生对分解因式概念的理解。2、分析概念，抓住本质
　　数学概念大多数是通过描述定义给出它的确切含义，它属于理性认识，但来源于感性认识，所以对于这类概念一定要抓住它的本质属性。
　　案例12：“互为补角”概念：“如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角”其本质属性：（1）必须具备两个角之和为180°，一个角为180°或三个角的和为180°都不是互为补角，互为补角只就两个角而言。（2）互补的两个角只是数量上的关系，这与两个角的位置无关。通过这两个本质属性的分析，学生对“互为补角”有了全面的理解。
　　3、剖析变化，深化概念
　　数学概念都是从正面阐述，一些学生只从文字上理解，以为掌握了概念的本质，而碰到具体的数学问题却又难以作出正确的判断。因此，在教学过程中，必须在学生正面认识概念的基础上，通过反例或变式从反面或侧面去剖析数学概念，突出对象中隐蔽的本质要素，加深学生对概念理解的全面性。
　　案例13：判断下列说法是否正确：（1）a的相反数是-a，零没有相反数；（2）正数的相反数一定是负数，正数与负数互为相反数；（3）正数的绝对值是它本身，绝对值等于它本身的数是正数；（4）两个数的绝对值相等，那么这两个数必定相等；（5）任何数都有它的相反数，一个数的相反数肯定是非负数。
　　错解：五个判断都正确。
　　正解：五个判断都不正确。
　　分析：相反数的意义是指只有符号不同的两个数，在一个数的前面加上“-”号，就表示这个数的相反数，由相反数的规定，0的相反数是0，一个正数的相反数必定是一个负数，但不能笼统地说正数与负数互为相反数，如+2与-1，所以（1）（2）错误；正数的绝对值确是它本身，但绝对值等于它本身的数除了正数外，还有0，所以（3）错误；判断两个数是否相等，从相反数角度看，只需这两个数的相反数相等就可以了，从绝对值角度而言，不仅要绝对值相等，而且符号要一致，所以（4）也是错的；任何数都有它的相反数与绝对值，一个数的相反数可以是正数、0或负数，一个数的绝对值是非负数，（5）中把绝对值和相反数混淆起来，显然也是错误的。
　　4、反思纠错，自我诊断
　　纠错是复习中不可缺少的一个环节，通过纠错可以帮助学生不断完善认识和理解概念，提高其解题的“免疫”力。可在实际的复习中我们大多直接告知正确答案，进行简单订正（学生任务式的改在试卷上或改在纠错本上），但不久就发现，学生的错误又来了，有的甚至屡次犯下同样的错误。究其原因是纠错没有引起老师和学生的足够重视，错误的概念没有真正搞懂，从而不可避免地误失了了解学生犯错的真实情境和失误的过程的机会。其实一个正确的认识、念头和做法，无不经历多次与错误的周旋和错误到成功的尝试与体验的过程。所以在复习中要为学生开辟好纠错的各种途径。
　　（1）在教学中要宽容学生的错误，重视错解中合理成分的提取和激活，使学生在心理上认同和接受“纠错”，并自觉对自己的想法和做法作出修正和调整。
　　（2）在课堂上要主动暴露错误过程，通过模拟错误的思维和心理过程，再现学生各种可能的解题错误，并找出错误的原因，及时解决学生的解题困惑，从而从根本上清楚学生头脑中错误概念的信息。
　　（3）课后建立个人错题档案，定期开展纠错交流和再考查，以引导学生经常性反思错误概念的成因，以提高自我诊断能力，优化思维品质。
　　5、自己纠错，变苦为甜
　　费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”在教学过程中，教师要引导学生自己对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生明白为何出错，才能使学生避免重蹈覆辙。
　　案例14：在整式的运算一章中，学完了“同底数幂的乘法和除法运算”之后，学生对同底数幂的乘法和除法运算法则总是不熟练，不知指数是加还是减，对此，针对学生练习之中出现的易错点、常错点而专门设计了这样一组练习：
　　下面的计算是一名同学所做，是否正确？如有错误，请你帮他改正过来。
　　(1) ；    (2) ；    (3) ；
　　(4)      (5) ；    (6) ．
　　让学生做这样从错误中找错误的练习，加深了对幂的运算知识的理解与掌握。这种本不应有却又极难避免的失误往往会在学生的头脑中留下深刻的印象，例题处理得好，可以久久难忘！学生出现失误好像是坏事，但通过师生的努力，对症下药，完全可以将它变为好事。因为通过对错解的辨析与反思，能让学生充分尝到失误的“苦头”——吃一堑，又尝到了掌握全面知识的“甜头”——长一智，他们的思维就会日臻完善，逐渐成熟，这也正是良药苦口利于病！
　　6、将错就错，拨乱反正
　　英国一位心理学家说过：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的”。数学实践是一个动态的、变化发展的过程，学生随时可能发生各种预想不到的错误。我们应把错误看成教学的资源，充分利用数学实践中“错误”这一“财富”，化弊为利，将错就错，培养学生正确归因错误，正确地、巧妙地利用错误，培养创造性思维。
　　案例15：这学期听过的一节课就让我深有感触。上课教师以三位学生对同一道题的三种错误解法为研究对象，展开了一堂容知识、技能、情感于一体的数学课，感触颇深。他首先出示了学生反馈的三道错题：
　　①.- ×0.5-2.4÷1      ②. - ×0.5-2.4÷1      ③.- ×0.5-2.4÷1
　　＝- × - ×            ＝3 -2                 ＝ × +2 ÷1
　　＝- -                    ＝5                    ＝＋2
　　＝                                                 ＝2
　　“面对这些错误，你有什么感觉？”学生回答：害怕、讨厌、不喜欢，显然他们是不自信的。这位老师从学生的心理因素入手，后让学生评析产生错误的原因。学生各抒己见，并从书写习惯、数的感知及知识点的掌握等方面找到原因。得出对策：避免粗心。他没有就此打住，教育学生应把粗心的原因去掉，体现错题的价值所在，告诉我们学会从错题中找到知识漏洞，避免下次再犯。使学生在评析错误的过程中，总结经验，养成良好的学习习惯。
　　出现错题，再纠正错误，指出错误原因。我们对错题的利用往往到此为止，但这位老师并没有就此结束。怎样让更多的学生找到自信，体验成功。他最后安排学生来欣赏这些错误，找找其中的优点，使学习错误再次成为课堂教学的亮点。如它们的运算顺序都对，有些分数、小数的互化也很正确。让学生主动参与找错、议错、评错、赏错，对学生来讲是一种可贵的成功体验。这时候再让学生说说面对错题的感觉，他们不再那么讨厌、也不害怕了。
　　这一课始终围绕错误展开，时时关注学生的心理变化，让学生在纠错改错、评错赏错的过程中感受到学习的成功和快乐。
　　一直以来，人们视错误为“洪水猛兽”，就怕学生出错，但是实际上“每个人在数学学习的过程中都会犯错”。作为学生，犯错误是难免的，问题是要尽快地识别和纠正。法国数学家阿达马也说：“即使优秀的数学家也经常犯错误，不过他们可以很快地发现并改正。”
　　我们在教学过程中必须清晰地认识到：学生对概念出现错误理解具有必然性；对概念理解掌握的过程是一个随认知结构不断完善优化螺旋上升的过程；概念教学过程中教师运用的各种教学策略，可以有效地帮助学生减少出错的频率，而无法消除学生错误的出现。因此，教师要正视学生的错误，针对不同的学生、不同的错误，应开出不同的处方，然后对症下药。同时将纠正学生错误看作是自己教学的一部分，巧用学生的错误，把学生的错误利用成促进教学的资源之一，树立“学生错误概念的暴露和呈现是教学的真正起点”的理念。
　　当然，转变学生错误概念的教学策略很多，在教学过程中，教学策略的选择应视具体教学内容、学生错误概念形成的特点、原因而定。但笔者认为引发认知冲突与促进学生认知顺应是学生错误概念获得根本性转变的关键因素。同时，发展学生的元认知能力，加强学生的主动调控，使学生对自己的错误概念从潜意识转为有意识状态，从心理上和行动上真正得到错误概念的纠正。
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